猫が動物であるように、正方形は長方形である？

 「正方形は長方形だ、とか立方体は直方体だ、となぜ教えないのかと言うと、小学生には難しいという先生は、猿も人間も動物だとか、日本人はアジア人だとか色々困らないのか認識できてないだけなのか #小一時間ほど問い詰めたい。」（Twitter 月光氏 2014/10/28 11:35AM）

小学生は、猫が動物であること、きゅうりが野菜であること、カツカレーがカレーであること、はわかるのだから、「正方形が長方形である」こと、「正方形が特殊な長方形である」ことも理解できるはず。児童は一般の包摂関係がわかるので、【図形の】包摂関係も理解できるはず、である。

Ａ）図形の包摂関係の困難さ

そのはずなのに、実際には、【図形の】包摂関係の理解は、小学生には、不可能でないとしても、とても難しいことが知られている。図形の包摂的理解とは、具体的には、「正方形が長方形である」こと、「正方形が長方形の特殊な場合である」こと、「正方形の集合が長方形の集合の部分集合である」こと、の理解である。

現代化算数の時代（1970年代）には、図形の包摂関係がヴェン図を使って積極的に教えられたが、理解できた子も少数いたものの、ほとんどの児童が理解できなかった。当時の小学校のあるクラスでは、長方形は平行四辺形かの論争が勃発、平行四辺形だと主張した１人が、クラスの他の全員から集中砲火を浴びた（注1）。

当時の調査では（注2）、現代化当時の小６は、その学習を終えているはずだが、包摂関係の理解を試す問いに正しく答えられた児童の割合はとても低かった。学年が上がるほど、正答率は高くなっていくが、中３になっても、正答率は39%に留まっていた、という（p.59）。小中学生の思考の発達を無視して無理に教えようとしても、うまくいかないのである。このため、現在の日本では、図形の包摂関係は、中２数学の証明の単元で教えられていて、算数では教えられていない。

小学生の、図形の包摂関係の理解に問題があることは、日本だけでなく、外国でも知られている。次の引用で、「四角形の階層的分類 (a hierarchical classification of quadrilaterals)」というのは、長方形や正方形を包摂的に定義することを意味する。

「多くの国際的な研究が示してきたのは、「多数の学習者が、四角形の階層的分類やそれと関係する図形の定義の問題に納得しない」ことである。とくに明白なのは、「学習者がしばしば、図形の形式的な定義に手こずっていること、さらには、彼らの幾何学的な推論は、しばしば、彼らの心的な図形イメージにかなり影響されていること」である。たとえば、モナガン(2000)の報告によると、イギリスの11歳の児童は、正方形が長方形であることを認めようとしない。」（注3）

歴史的にも心理学的にも示されてきたこうした困難にもかかわらず、一部の人たちは、「小学生は図形の包摂関係を難なく理解できるので、小学校から包摂関係を教えるべきだ」と主張する。彼らは、今の小学校では、包摂関係は教えられていないにもかかわらず、「正方形は長方形ではない」と教えられていると言い、因果関係の調査もせずに、中高数学における包摂関係指導上の困難の原因を、小学校の教育の仕方に帰している。

彼らは、指導・学習ですべてが決まる、と考え、発達ということを無視している。だが、国によって、図形の教え方は違うのに、世界中の児童や生徒が、包摂的定義の理解に困難を抱えているというのだから、図形の包摂性の理解の困難さは、むしろ、論理的思考の発達の段階に起因する、かなり普遍的なものだ、と考えるべきなのである。

たしかに、先に言及した現代化時代の調査によると、包摂関係の理解は、中１と証明を学ぶ中２とのあいだに、相対的に著しい差がある、ということだが、これは、学習が図形の包摂理解に役立つ、ということを示唆する。証明の学習がなかったら、包摂関係の理解はほとんど進まないであろう。学習が包摂関係の理解をより容易にするのである。包摂関係の理解が発達段階から一方的に決まるのではなく、学習と発達は互いに他を制約し促進するのである。

Ｂ）定義に基づく論理的思考

図形の包摂関係が児童に難しいのは、それを理解するには、猫やきゅうりやカツカレーのような具体物と違い、定義から論理的に推論する思考力が必要だからである。ところが、児童にはまだ、その力が十分でない。証明では、定義や公理公準から演繹的に推論する論理的思考力を使う。中２での証明の学習が、図形の包摂的な関係の理解を促すのだとしたら、それは、証明の学習が論理的思考力を高めるからにほかならない。

現代では、算数教科書も含め、長方形は包摂的に定義されている。すなわち、簡潔に表現すれば、長方形は等角四角形、正方形は等辺等角四角形なのである。一般に、概念の内包が多いほど、その外延は狭い。この２つの図形に共通する属性は、等角性と四辺性である。正方形の定義には、これらに加えて、等辺性が加わっている。正方形は、長方形より１つだけ性質が多く、その分、長方形より範囲が狭い。

集合で言い換えると、次のようになる。長方形の集合は、１）四角形の集合と、２）等角なものの集合と、の交わりである。正方形の集合は、１）四角形の集合と、２）等角形の集合と３）等辺形（ひし形や正方形など）の交わりである。１）と２）の重複部分（長方形）のうち、さらに３）が重複する部分が、正方形の集合である。だから、正方形の集合は長方形の集合の部分集合である。

そのかぎりでは、「猫が動物である」というのと同じ意味で、「正方形は長方形である」と言える。長方形の集合の要素はすべて長方形であり、正方形がその部分集合なら、正方形の集合の要素もすべて、長方形であると言える。正方形は特殊な長方形、等辺であるような長方形なのである。これは、猫の集合の要素が、この集合が動物の集合の部分集合であるなら、すべて動物であるのと同じである。

しかし、これは長方形を包摂的に定義した場合に言えることであり、ユークリッド風に「非等辺な等角四角形」と排反的に定義したら、正方形は長方形ではない。次の引用はルジャンドルのものからだが、ここでは、長方形は「角は直角だが、辺は等しくない」と定義されている。正方形の集合と長方形の集合は、どちらも四角形の集合の部分集合だが、両者の交わり（論理積）は空である。四角形の集合のなかで、長方形と正方形は、重複分がない集合として表される。

長方形と正方形の関係は、長方形を包摂的に定義すれば包摂的、排反的に定義すれば排反的である。つまり、正方形と長方形の関係が包摂的であるかどうか、正方形は長方形であるのかそうでないのか、という問題は、定義次第なのである。だから、「正方形は長方形である」は、けっして自明な数学的真理ではない。それは、包摂的な定義が現代では支配的であること、いわば定義の政治学、を前提としてはじめて成り立つ命題なのである。

Ｃ）前論理的な理解

だが、図形を学習する者が、その定義から推論する論理的な能力を、まだもたないとしたら、どうであろうか。当然、包摂的な定義から正方形と長方形の包摂関係を引き出すことも、排反的な定義から両者の排反的な関係を引き出すことも、できない。では、両者の関係について、小学生は何も考えていないかというと、そういうわけではない。というのも、人は論理的な思考を始まるまえに、いつもすでに、前論理的で素朴な生活世界に生きているからである。

児童は、論理的な思考力が未発達なので、図形を定義や概念からではなく、視覚的なイメージで把握しようとする。視覚イメージで考える児童にとって、長方形は、縦横の長さが異なる典型的な長方形(prototype)なので、正方形との関係は排反的(exclusive)である。子どもが生きる前論理的で素朴な直感的な世界では、正方形は長方形とともに四角形の仲間であり、しかも、角が直角なので、長方形の兄弟のようである。

ただし、この排反関係は素朴なもので、まだ論理的ではない。「インスタの写真は正方形にする、それとも長方形？」のような、大人も日常使うような自然言語の用法でも、正方形は長方形ではない。自然言語のこの用法は、生来的なイメージにもとづくものであろうが、視覚イメージにおける素朴な排反関係を強化する。

児童は、算数で正方形と長方形を学ぶ前に、素朴な理解のなかに生きている。この素朴な排反的理解を修正するのは中学数学で、算数ではない。

長方形であるものを図から記号で選ぶ設問で、正方形の記号を模範解答に含まされていない（または、解答欄が正方形ではない長方形の分しか用意されていない）のは、このような素朴な理解を前提としているから。この設問は、素朴な排反関係を追認し、利用して、児童が図形の名称を正しく覚えているか、正方形と長方形を逆にして覚えていないか、をチェックするもの。長方形と正方形の関係が包摂的か排反的か、のような難しいことを教えようとしているのではない。この設問の存在をもって、算数で「正方形は長方形ではない」と教えられている、とするのは、無理筋であろう。

縦も横も2cmで高さが6cmの直方体の面は、長方形がいくつ（４つ）、正方形がいくつ（２つ）？という設問も、同様である。模範解答は、「長方形が４つ、正方形が２つ」であり、「長方形が６つ、そのうち２つが正方形」なのではない。

「正方形の折り紙を２回折って、正方形と長方形どちらも２つずつを作るには、どのように折り紙を折ればよいか」という問題では、両対辺の中点どうしを結ぶ折り方だと、正方形が４つできてしまうので、中点からずれたところで折らないといけない。

小学校教員は、このような設問によって、排反的な関係を教え【込】もうとしているわけでは、けっしてない。ただ、図形の名称や直方体の特徴を教えようとしているのであり、その際、視覚イメージと日常言語の用法を容認し、使っているだけである。もし、教え【込】もうとしているなら、教科書にはっきりと「正方形は長方形ではない」と書けばよいし、定義も排反的な定義にすればよい。「次の２つのヴェン図のうち、正しいのはどちら？」という設問を作って、２つの集合が重なり合わない関係（排反的関係）を表したものを、正解とすればよい。

Ｄ）具体物の包摂関係

図形の包摂的理解が難しいのに、猫やきゅうりやカレーの包摂関係が比較的容易なのは、なぜなのか。それは、図形とは違い、猫が動物であることは、猫と動物の定義を知らなくても、猫の形や動作・しぐさ、出産などの生態などから、動物（けもの）であることが、児童にもわかるから、である。それは、外見の類似性に基づくかなり素朴で皮相で直感的な包摂性の理解なので、クジラを魚類だと誤認することも招いてしまう。エラがなく肺があるといった解剖学的知識や、出産して子どもを乳で育てるとかの生殖について知識を学ぶことで、この素朴な分類は、より学術的な分類に修正される。

猫やきゅうり、カレーは、無数のさまざまな性質をもつ自然物や人為物である。これらは決定的な仕方で定義するのが、不可能でないとしても、難しい。それがもっている多数の属性のうちどの属性に注目するか（重視するか）により、さまざまな定義と分類が可能になる。

これに対して、図形は、目に見える形をもっているという点では具体的であるが、定義的には、２～３の性質から構成された、かなり抽象的な存在である。児童は、定義のようなものが教科書に書かれていても、それをほとんど無視して、視覚的に把握される形だけに注目し、正方形と長方形を排反的に分類するのである。

しかし、前論理的な理解は、何層にも積み上げられた包摂関係の階層を抱擁する能力はないかもしれないが、何でも排反的とするではなく、一定限度で包摂関係も容認できる。長方形と四角形の関係は、論理的にだけではなく、前論理的にも、包摂的である。視覚的イメージとしては、未就学児の目にも、正方形や長方形、台形などは、二等辺三角形や正三角形などとは区別された、同じ四角形の仲間に見える。

だが、それは素朴で前論理的な関係であるゆえに、論理的な包摂関係のように、上位概念と下位概念は明確に区別されて整理されていない。長方形の集合が四角形の集合の部分集合としてとらえられているというよりは、「長方形は四角形の仲間である」という表現のほうが、よく事態を表している。

このような理由から、「児童は、猫が動物であることを容易に理解できるのだから、正方形が長方形であることも容易に理解できるはず」というのは、間違っている。

注

注1 読売新聞発言小町「小学校　正方形が長方形でないのはなぜ？（駄） 」 redbear 2014/11/15 20:31

注2 小林敢治郎「図形の包摂関係の指導――包摂関係を適用する能力の実態把握を中心にして――」『日本数学教育学会誌』

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjsme/59/4/59_10/_pdf/-char/en

「この包摂関係を理解するのはなかなか大変なようで，例えばある調査では，中学校二年，三年生の約半数の生徒が，平行四辺形と長方形を別のものだと認識しているようです」（国宗進「図形の豊かなイメージを育てよう」blogs.yahoo.co.jp/taroinuk/38047565.html リンク切れ）

注3 T.Fujita and K. Jones, ,”Leaner’s Understanding of the Difinitions and Hierarchical Classification of Quadrilaterals: Towords a Theoretical Framing, in: Research Mathematics Education, 9 (1&2), pp. 3-20. 2007; p.4.

（Twitter @flute23432 2022/03/11 00:42AM, 0:59AM などに基づく）

トランプ配りと〈かけ算の順序〉論争

 Ａ）トランプ配り

「1972年1月26日の朝日新聞の記事」（メタメタの日 2009/01/23）https://ameblo.jp/metameta7/entry-10196970407.html

〈かけ算の順序〉論争でしばしば言及される、朝日新聞のこの記事によると、1971年に大阪の小学校で、かけ算の式が逆でバツになった答案を子どもが持ち帰った保護者のＫさんが、学校や教育委員会、文部省に抗議した。

この記事は数学者などにも取り上げられ、さらに議論を呼んだ。

式がバツになった設問は、かけ算の文章題で、「６人のこどもに、１人４個ずつみかんをあたえたい。みかんはいくつあればよいでしょうか」というものだった。

Ｋさんが根拠としたのは、トランプ配りである。トランプ配り（カード配り）とは、トランプをポーカーなどの参加者に配るときの配り方。トランプは１人１枚ずつを、参加者全員に順に配りながら、54枚全部がなくなるまで、何巡もする。６人なら９巡である。

①通常の理解では、配った結果に注目する。子どもが６人いて各人の前に、配られた４個のみかんが置かれている。みかん４個の山が６つある。１人分のみんかの数４個の４が１つ分の数で、人数６がいくつ分なので、式を〈１つ分×いくつ分〉の順に書くとき、式は４×６だ。

逆に、②４人に１人６個ずつだったら６×４となる。しかし、③トランプ配りをして、配る過程に注目すると、全員に１人１個ずつ配る１巡（１周）で、６人分６個配れる。これを４回繰り返すと（４巡すると）、最終的には、１人４個ずつ受け取ることになる。

ここでは、１巡で配る個数６（１人１個ずつで６人分の６個）を１まとまりとして見ることかが可能で、これが１つ分の数に、４巡（周、回）の４がいくつ分となる。日本の算数では、かけ算の式は〈１つ分×いくつ分〉の順に書く習慣なので、式は６×４である。

①②③の３つとも、かけ算の式は〈１つ分×いくつ分〉の順に書かれている。③は式自体は②と同じだが、状況は①と一致する。状況は同じなのに、トランプ配りをすると、一つ分の数といくつ分が入れ変わる。

一つ分の数４といくつ分６が、一つ分の数６といくつ分４となる。１つ分の数であった４がいくつ分に、いくつ分であった６が１つ分の数になる。①と③では状況は同じで、配るミカンの総数も同じ24個である。

ここから、のように言える。

４（１つ分）×６（いくつ分）＝６（１つ分）×４（いくつ分）

👧👦👧👦👧👦

🍊🍊🍊🍊🍊🍊 １巡目
🍊🍊🍊🍊🍊🍊 ２巡目
🍊🍊🍊🍊🍊🍊 ３巡目
🍊🍊🍊🍊🍊🍊 ４巡目

これが交換法則である。かけ算の交換法則は、算数の教科書では、アレイ図などで示されている。アレイ図でも、グループを縦１列ごとに作るか横一列に作るかで、１つ分の数といくつ分の数が入れ替わることが、示せる。

トランプ配りによる解釈は、可能と言えば可能だし、間違っているわけではない。児童がもしこのような解釈をして、〈１つ分×いくつ分〉の順に書くという「約束ごと」に従えば、式は６×４である。

ここまで見るかぎり、６×４でバツにされる理由はない、と言えそうだ。

Ｂ）非現実性

だが実は、トランプ配りによる解釈は、現実性に関して大きな問題がある。児童はそもそも、そのように解釈しないのである。トランプ配りの解釈は、むしろ、自由派が順序派を批判しようとしてひねくりだし、持ち出すものである。

新聞記事の小学校は、Ｋさんの抗議を受けて、逆に書いた児童に聞き取り調査をしたところ、トランプ配りで考えた児童は１人もおらず、どの児童も、問題文に数が現れる順に式を書いただけだった、ということがわかった、という。文章題は「６人のこどもに、１人４個ずつみかんを…」となっていて、たしかに、問題文中で１人分の数よりも、人数が先に登場する。

児童がトランプ配りによる解釈に基づいて立式することは、まずない。１人に配る個数が４個とわかっているのに、１個ずつ配るというのは、かなり効率が悪い配り方であり、大人でもしないであろう。最初から、各人に４個まとめて配るであろう。

トランプをトランプ配りするのには、特殊な事情がある。ポーカーなどはいいカードを集めるので、前のゲームの影響が残ると不公平になる。不公平が起こらないように、ゲーム前に十分にシャッフルし、また、配るときも、トランプ配りをする。

キャンディーが多数あって、全部の個数は不明、人数だけ決まっているときに、平等にキャンディーを配る方法としては、トランプ配りは１つの方法となる。しかし、かけ算の問題では、１人に配る個数が最初からわかっている。

小学生くらいの子どもは、現前する具体物に基づいて思考する。子どもの各人に４個のみかんの場合は、子どももみかんも具体的なものだが、それに比べると、一巡で６個の「巡」は事物ではなく、動作の単位なので、より抽象的である。だから、小学生は、配られた結果としてできる、各人の前にできたみかんの山を、考える。

トランプ配りによる解釈は、１個、２個……のように数えることができる分離量では、比較的容易だが、連続量だと、ぐっと難しくなる。クラスの38名全員に、１人に20cmのリボンを配るとき、全部で何mのリボンが必要？ リボンは運動会の遊戯で、腕に付ける。

リボンを1cmごとに細かく切って、１巡目で１人に1cmのリボンを渡し、38人全員が受け取ったら、２巡目で１人に1cmのリボンを渡し……ということを20回繰り返せば、１人に全部で20cm分のリボンの【破片】が集まる。

１巡ごとに、38人分の38cm必要で、この細かな38cmの配布を、20回繰り返す必要がある。このとき、38が１つ分の大きさ、20がいくつ分となる。しかし、そのように細かく刻まれたのでは、運動会では使用できないであろう。

１個54円の消しゴムを38個購入するとき、1円ずつの分割払をすれば、１回につき38個分の38円を払い、それを54回繰り返せば、完済できるはずだ。しかし、1円ずつの分割払いは、小学校の近くの小さな文具店ではもちろん、大手の文具専門店でも、取り扱いがないであろう。

だから、大人にさえ、トランプ配りの解釈は、思い浮かばない。ましてや子どもは思いつかない。もし児童にトランプ配りの解釈をさせたいなら、そのための十分な誘導が必要である。まず、文章題を次のように、トランプ配りで配ったことがわかるように、改める。

「６人の子どもに、１人１個ずつみかんを配り、全員が１個受け取ったら、同じことを最初の子どもに戻って繰り返す。４回繰り返すとき、みかんは全部で何個必要？」

また、挿絵としては、トランプ配りをした過程がわかるようにコマ絵を描いて、「巡」というまとまりを、線で囲って示すなどする。そうすれば、さすがに児童にも、巡ごとのまとまりがわかる。そのとき、かけ算の式は６×４であり、４×６ではない。

（参考）

自由派が、ふだんからトランプ配りでお菓子などを親から受け取る習慣の子どもが、トランプ配りで考えて逆順式を書いた実例として挙げるのが、読売発言小町のこの例。

2011年12月10日 小2の母「小学2年生、掛け算の文章題で悩んでいます。」

http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2011/1210/467390.htm?o=0&p=1

ところが、この例は、実はトランプ配りによるものではないことが、次のブログで、明らかにされた。同時に明らかにされたのは、小２の母に対する自由派定数氏の激しく生々しい裏工作であった。

「小町小2の母の娘は、本当に、トランプ配りで考える２年生の例か？」http://makitae.cocolog-nifty.com/tsurezure/2015/12/2-a5c3.html

（Twitter @flute23432 2022/02/19 06:08PM, 06:19PM などに基づく）

式は場面を表すのか？

 「最大の問題は、あなた自身が、式が場面状況を表す、という前提を疑っていないことです。これこそが最大の過ちです。式が表しているのは場面ではなく、数です。」（Twitter 定数氏 2022/02/20 10:31PM）

式は一般には、数字ないし文字と演算子から構成され、計算の手順ないしはプログラムや、その結果を表していて、状況は表さない。ab-cはaとbの積からcを引くことと同時に、その結果を表す。定数氏は、式が表すのは数だと言っているが、それは十分ではない。

式が状況に関係づけられることはあるが、一般には、その関係づけは、演算や式にとって偶然的だと見なされている。だから、合併／増加、求残／求差、等分除／包含除などの、演算が適用される状況の分類は、数学の外部の話だと思う人が多い。

しかし、初等数学教育では、式を状況に強力に関係づける教育的な必然性がある。というのも、児童が四則演算を習い始めるとき、児童がすでに獲得しているのは、もっぱら、生活や物語（お話し）を通して児童に馴染みの具体物の変化と操作、配置などだから、である。

四則演算を習い始める児童も、少なくとも、数を数えたり簡単な足し算をしたりくらいのことはできるであろうが、数学的な基礎はないに等しい。中学でf(x)=3x-2のような関数の式を理解できるのは、小学校卒業までに四則演算や、空欄□を含む式をすでに学習しているからこそ。

ある未知の事柄を理解するには、未知を既知に組み込み関係づけなければならない。関係づけられないと理解できない。だから、式を理解できるようになるには、それを、低学年児童に馴染みの具体物に関係づけないといけない。そして、その具体物の世界は、明晰で単純な数学的イデアの世界と対照的に、雑多で鈍重で不純な世界なのである。

ひき算を習うときは、ひき算が適用できる状況のうち、１年生にも馴染みの、お菓子を食べる、公園で遊ぶ、といった物語に対応させる。お菓子を６個もらって、そのうち４個食べたので残りは２個だとか、公園で７人遊んでいて３人帰ったので、今は４人遊んでいるとか。

これは、算数学で求残と呼ばれる状況である。ひき算が適用できる日常的な状況のもう１つのタイプは求差である。「兄が７枚、弟が５枚カードをもっているとき、違いは何枚？」といった文章題で表されるような状況タイプである。差は静態的な状態で、変化や動作の物語にできないので、小１にはより難しい。

求残と求差は、ひき算が適用できる状況や文章題の分類で、一般にはこれは、ひき算そのものの分類とは見なされない。数学的には、ひき算そのものには求差も求残もないと言えよう。

だが、このような具体的状況から、状況に基づいて、状況のなかでひき算という演算を理解し始めている児童にとって、演算は状況からまだ十分に独立していないのである。児童にとって、式は、状況のなかにまだ半分以上埋もれていて、十分に独立していない。

児童の抽象的思考は未発達で、児童は具体物に即して考える（具体的操作期）。だから、四則演算を習ったばかりの児童は、大人が理解しているようには、演算やその式を理解していない。児童にとって、状況から式を立てた途端に、状況が式から失われることはない。文章題から式を立てた途端に、式が文章題から切り離されるわけではない。

だから、この学年の児童にとって、そしてまた、「そのような児童に演算の基礎を教えるにはどうしたらよいのか」を考える算数学においては、求残と求差はひき算そのものの分類だと言ってよいのである。ひき算には求差と求残がある、と言ってよいのである。

定数氏に限られないが、自由派の多くは、このような教育的状況の固有性がまったく理解できていない。この意味で、定数氏らは、初等数学教育を論ずる資質を疑われても、やむをえないであろう。

なお、求差と求残のようなものは、演算が適用される日常的状況の分類であり、「求差と求残という、互いに異質な２つの実体がある」といった形而上学的な主張がなされているわけではない。それはおおよその区別、暫定的な分類、であってもよいのである。

だから、どちらに分類してよいかわからない状況とか、観点によってどちらにも分類できる状況があってもおかしくはない。たし算が適用できる状況タイプのうち、小１が学ぶのは、合併と増加である。合併と増加はひき算の求残と求差に比べて、とても近い関係にあり、境界も明瞭ではない。両者の区別の基準の１つが時間である。合併は同時的だが、増加は時間差がある。しかし、合併でも、厳密な同時性ということは考えられない。小１が満足できる程度の精度の、おおよその同時性であればよいのである。

こうした曖昧さや不明瞭さは、分類そのものが無効だとかナンセンスだということを意味しない。男性と女性のどちらにも分類しにくい中間的な性があるからと言って、男性／女性の概念的な区別が無意味になることはない。ある人の右はその人に向かい合う人にとっては左にある。だからと言って、左／右の区別がナンセンスになるわけではない。これと同様である。

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「式に意味などない、式が表しているのは数であり場面ではない、とすれば一切がすっきりするのに、なぜそういないのか、理解に苦しみます。」(Twitter 定数氏 2022/02/20 10:41PM)

児童は、日常的な状況のなかの具体物の変化や配置などに基づいてしか、演算や式のような抽象的なものを理解できないのに、なぜそれを否定してしまうのか、理解に苦しみます。

（Twitter @flute23432 2022/02/21 00:10PM などに基づく）

求められたかたちで解答すること

算数・数学では、等号＝でつなげて大きさ（値）を維持しながら、式などを一定のかたちにすることが求められることが、よくある。計算というのは、演算子と数、括弧などから構成された式を、単一の数に変形することである。因数分解も、単一の数を複数の因数に分解すること、単一の多項式を複数の多項式の積の形に変形することである。

ａ）分数の計算問題で、答えを=21/30と書くとバツになる。そのバツは、しかし、21/30=7/10であることの否定を意味しない。それ以上約分できないかたち（既約分数）が求められているのに、それができていないからバツになった。

算数・数学では、もっとも簡単なかたちにすることがしばしば求められる。計算というのは、大きさ（式の値）を維持しつつ、もっとも簡単なかたち（通常は、単一の数値）に変形することを意味する。4×3という計算問題の答えとして、3×4とか6×2、13-1とか2×4+5-1は不適切である。

98/14のように、分子が分母の倍数のときは、整数のかたち（7）にしなければならない。まだ約分できるかどうかの判断は、２つの整数のあいだに共通素因数があるかどうか（互いに素でないかどうか）を判断することでもあり、その判断力の訓練は、数学ののちの学習にも役に立つ。

ｂ）算数では、3.9+5.1の筆算で、答えの9.0の0を斜線を引いていないと減点されるが、これは、小数点以下にゼロしかない場合ゼロを消すように言われていたのに、それができていないから。そのような採点を見て、算数では9.0≠9なのかと疑念を呈した人がいたが、採点した教員は、もちろん、9.0と9が等しくないと考えている、というわけではない。

小数9.0のように、整数で言い換えられる数を、整数の形にするのは、98/14をそのままにせずに整数7にすると同じ理由から。小数の足し算は小数を学び出すと、すぐに出てくる。小数学びはじめの児童に、筆算の結果出てきた9.0が、既習の整数9と等しいことを意識させるため、筆算であえて斜線を入れさせているのである。

なお、小数のたし算筆算は小３で学ぶが、有効数字は中１。また、算数・数学に出てくる数は、通常、測定値ではなく、誤差がない厳密値なので、有効数字の考えはここに適用できない。

ｃ）学校算数では、かけ算の文章題では、かけ算の式を教科書や授業でそうしていたように、〈１つ分×いくつ分〉の順に書かないと、しばしば、バツになる。

たとえば、「３つの袋のどれにも４個入っているとき、キャンディは全部で何個？」という文章題では、各袋のなかの個数が一つ分の数なので、文章中に数が出てくる順とは逆に、式としては、４×３＝１２と書くことが求められる。

これは、どれが１つ分で、どれがいくつ分かを児童に理解させるため、である。というのも、児童は、文章の解析力がまだ不十分で、「今はかけ算を学習中だから」という理由で、数の意味も考えずに、文章中の２つの数字を拾い出して、掛けて答えを求めようとするから。

そのようなやり方だと、学習中の単元の情報がないときは、与えられた文章題を何算で解くのかが、わからない。掛けたり割ったりして、ありそうな答えが出る演算を選ぶことになる。そのような皮相なやり方だと、掛けるときも割るときもある、高学年で学ぶ割合の文章題で、立ち往生してしまう。文章が表す事態に見いだせる数的関係や数の意味から、使う演算を割り出せるようになるべきであろう。

バツで採点した教師は、けっして、4×3≠3×4だと言おうとしたのではない。つまり、かけ算の交換法則を否定しているのではない。〈１つ分×いくつ分〉の順に書くようにと言われていたのに、それができていないから、バツにしたのである。３と４のかけ算の式を〈１つ分×いくつ分〉の順に書くように、求めているだけなのである。

もし3×4が〈１つ分×いくつ分〉の順に書かれていたのだとすると、3×4は３個のものから成るまとまりが４つある、という意味になるが、しかし、文章題では、４個入りの袋が３つなので、意味が違ってしまうから。

定数氏らは、順序指導は1+1=7だと教えるのと同じで、嘘を教えることだ、と主張して、この指導法を激しく非難している。これは、その採点が4×3=3×4という交換法則を否定している、と勘違いしているためである。

これは、既約分数になっていないからバツにしているのに、21/30=7/10を否定しているのと誤解しているのと、同じ状況である。小数の筆算で、答えとして出てきた.0のゼロは、斜線を引く、という指示に反しているからバツにしているのに、9.0≠9だと言っている、と誤解するのと、同じ状況である。

特定の形で答えを出すことを求められる範囲や時期は、広く長いことも、そうでないこともある。分数の答えを既約分数のかたちにすることを求められるのは、中学くらいまでであろうか。大学入試だと、問題冊子に「既約分数で表すこと」とわざわざ書いてあることを考えると、高校では既約分数にすることが求められ【ない】こともあると見られる。

小数の筆算の結果で、小数点以下にゼロしかないときは、そのゼロに斜線＼を引くというルールが通用するのは、小学校の中学年までであろう。このルールは有効数字の考えと相いれないので、遅くとも、中１で有効数字を習うときまでには、廃止されていないといけない。

文章題などで〈かけ算の順序〉を守るように求められるのは、小学校であり、中学以降はない。小学校であっても、高学年では、教師の判断で、求められないことがある。〈かけ算の順序〉は教え方なので、教える対象によって、教え方を変えるのは普通である。自由派の教師に当たれば、低学年・中学年でも順序通りは求められないであろう。

（Twitter @flute23432 2022/03/06 04:45PM などに基づく）

疑似〈かけ算の順序〉問題

 〈かけ算の順序〉の問題は、それと似た別の問題と誤解され、混同されることが、ときどきあって、その代表的なものが、次の３つ。

１）文章題の問題文に現れる順にかけ算の式を書くように指導する教え方

２）加減に対して乗除を優先するなどの、計算の優先順位の問題

３）３つ以上の因数からなるかけ算の式において、どの乗号から実行するかの順序

１）日本の学校算数教育では、小１から小２にかけて、児童は、文章に現れる順に式を立てるように、指導される。ひき算の文章題も、ほとんどが、文章のなかで、引かれる数が先に現れる。

はじめて数学的な演算を習う児童が、容易に式を立てられるように、文章が式の順になっているのである。児童は理解が挿絵にも依存している度合いが高いので、挿絵も、式の左右に対応するように描かれている。これは、あくまで、初学者向けの教育的配慮である。

だが、一般的にいえば、文章題には、立てる式の順に数が出てくるはずもないから、いつまでも「現れる順に式を立てればよい」という、小１向けの配慮を続けるわけにはいかない。

そこで、小２の後半くらいから、文章中に現れる順では式を立てられないケースがぼちぼちと出てくる。その代表が〈かけ算の順序〉である。今度は、文に現れる順ではなく、〈１つ分×いくつ分〉の順に、つまり、意味の順に、書くように指導される。

この指導に従うには、数の意味（どちらが１つ分の数？）や文章が表す数的構造（かけ算なら同数グループ構造）を把握できていないといけない。児童は文章解析力がないので、これは大きな挑戦となる。

〈かけ算の順序〉論争において、保護者などによってアップされ議論の対象となるのは、バツになった採点済み答案である。これを見れば、１）「〈かけ算の順序〉とは文章に現れる順序だ」が誤解であることは明白。

その答案の文章題の多くは、文章中に現れる順序でいくつ分の数が先に現れる、逆順文章題である。現れる順に書いた式はバツとなる。もし、１）〈かけ算の順序〉指導が、文章中に現れる順に式を書くことを求める指導のことであれば、マルになるはず。

２）〈かけ算の順序〉は、異なる種類の演算子が混じる式で、どこから（どの演算子から）計算するのか、という計算順序のことだと、誤認されることもある。

小４で習うように、乗除加減の演算が混在する式では、原則は、左（前）から順に計算していくが、右（後）のほうを最初に計算させたいときは、丸括弧内に入れる。括弧が重なっているときは、より内側の括弧内が優先的に計算される。

ただし、括弧が３重４重になるとわかりずらいので、加減と乗除のあいだに、乗除優先の優先順位を設けてある。このルールで括弧を少なくできる。３＋（４×５）→３＋４×５。

〈かけ算の順序〉は、乗号とその前後の数について、一つ分の数（被乗数）を乗号の前に書くのか後に書くのか、という問題である。４×３のように、演算子が１つしかない単純な式では、〈かけ算の順序〉問題は生じるが、２）の計算順位の問題は生じない。

また、計算問題では、計算順序の問題は生ずるが、〈かけ算の順序〉問題は生じない。〈かけ算の順序〉は意味の順だか、計算問題では意味は重要でないから。〈かけ算の順序〉は、文章題のように意味が重要なところで、問題となる。

だから、〈かけ算の順序〉の話は、２）同じ式のなかの異なる演算どうしのあいだの順序の話とは別である。

３）５×２×３のように、因数が３つ以上の、かけ算だけの式でも、どこから計算するか、どの乗号から遂行するのか、という問題が、起きうる。２）は、異なる種類の演算子のあいだでの計算順序だが、３）は、同じかけ算どうしの順序である。

ただし、２）と違い、かけ算だけの式はどこから計算しても同じ、つまり、結合法則が成り立つので、結果が異なるおそれはない。

（５×２）×３＝５×（２×３）

４×３のような、乗号１つの単純な式では、２）と同様に、〈かけ算の順序〉問題は起きうるが、３）どの乗号から実行するのか、という問題は、存在しない。どの乗号から実行するのかが問題となり得るためには、式に乗号が複数なければならない。〈かけ算の順序〉は結合法則よりは、交換法則に関わる。

計算問題では、２）と同様に、意味は重要ではないので、〈かけ算の順序〉問題は起きない。でも、３）計算順位の問題は、起きうる。ただし、２）と違い、結果に影響を与えないので、問題は深刻ではない。

では、５×２×３のように、因数が３つ以上あるとき、〈かけ算の順序〉問題は生じないかというと、そういうことではない。５個入りキャンディーの袋が２つ入った箱が３つある。まず、各箱のキャンディーの数を求める式は、５（１つ分）×２＝１０。

各箱に１０個入っていて、その箱が３つあるので、キャンディーの総数を求める式は、１０×３。この２つの式をまとめれば、（５×２）×３である。５×２では５が１つ分、（５×２）×３では、（）内が１つ分である。

こうも考えることが可能。袋の総数を求める式は、各箱に２袋、箱の数が３つなので、２×３＝６である。各袋に５つ入っていて、その袋の総数は６なので、５（１つ分）×６＝３０。この２つの式を１つにすると、５×（２×３）。この式では、５が１つ分の数で、（２×３）がいくつ分である。

（Twitter @flute23432 2022/03/19 00:44PM, 01:00PM などに基づく）