日本の算数教育では、かけ算は、明治以来、同数累加の簡略算として教えられ、緑表紙時代に基準量×倍で教えられた。生活単元学習時代に一度、同数累加に戻ったものの、系統学習時代と現代化算数時代は、ふたたび、基準量×倍で教えられた。だが、1980年代以降は、どの教科書もかけ算は、現在にいたるまで、一つ分×いくつ分、で教えられている。
どの時期にも、「かけられる数」（被乗数）と「かける数」（乗数）という語は使われている。そして、それぞれの時期で、かけ算を定義する際の中心的な概念によって、被乗数と乗数は、その意味内容を変えてきたのである。
しかし、かけ算は元来、同数累加で教えられていたから、「かけられる数」（被乗数）とはもともと、ある数をある数だけ繰り返し足すときの、繰り返しの対象となる数のことであり、「かける数」（乗数）とは、繰り返しの数である（注１）。たとえば、3×5は、3+3+3+3+3の簡略表記であり、３を５回足している（寄せている）ので、３が被乗数、５が乗数である。
Ａ）文脈が与えられないとき
文脈なしに、単に３×２という式が与えられても、どちらが被乗数か乗数は決められない。決められるといえば勝手に決めることはできるが、まったく勝手に決めることになる。
勝手に３を乗数２を被乗数と決めるなら、２つのものが３つ分あるという意味であり、３を被乗数２を乗数と決めるなら、３つのものが２つ分という意味になる。両者では答え（総数、計算結果）は同じで、だから、かけ算は可換であると言えるが、しかし、意味は違っている。
ところが、中二氏は「「式の意味」も変わらない」と述べている。これは、かけ算を、被乗数と乗数ではもはや考えないということである。中二氏は定数氏と同様に、被乗数×乗数や一つ分×いくつ分ではなく、因数×因数＝積でかけ算を理解し、それを自明視・絶対視している、と思われる。
因数×因数のかけ算では、３と２が同じ因数の資格で掛け合わされて、６という積を構成する。逆に６を３と２に分解することは、因数分解である。書くときは３と２のどちらかを先に書かなければならないが、それはまったく瑣末で表面的なことである。順序は「どーでもいい」（定数氏）のである。
この意味でのかけ算は、中高の数学で習うことになる。しかし、小学校で学ぶかけ算は、被乗数×乗数という、×記号の前後で非対称なかけ算である。被乗数と乗数とでは意味が違うので、位置も固定するのが普通である。日本の算数の教科書では、式は被乗数×乗数の順序で統一されている。
被乗数×乗数には、一つ分×いくつ分、基準量×倍（割合）、単価×数量、速さ×時間、比例定数×ｘなどの、さまざまなヴァリエーションがある。これらはどれも小学校で学ぶべき重要な学習内容である。被乗数×乗数のかけ算が学ばれている算数教育を、因数×因数を基準に評価すべきではない。
1960年代のアメリカで、New Math運動が起こり、集合や位相、公理主義のような現代数学の概念が、初等数学教育に導入された。その結果、基本的な計算もできない数学嫌いの生徒がたくさん出て、運動は潰えた。当時のSMSG教科書では、かけ算は因数×因数で（直積で）教えられた。
「われわれが、２つの因数に演算を施して、１つの積を得るとき、われわれはかけ算をしているのである。」
中学・高校・大学の数学で学ぶ正しく論理的な知識だからといって、数学のより高度で抽象的な概念を初等数学教育に持ちこむのは、無思慮の極みである。算数教育は数学であるとともに教育でもある。定数氏や中二氏は歴史に学ぶことなく、ふたたび、初等数学教育を混乱の渦の中に引き入れようとしている。
Ｂ）文脈が与えられたとき
３×２に文脈が与えられると、どちらが被乗数であるかは、任意には決められなくなる。文脈には、１）その地域・分野での表記慣習と、２）現実や文章題文章が描く事態がある。
１）乗数×被乗数の順で書く慣習がある文化圏でならば、３×２の３が乗数である。日本の算数教育のように、被乗数×乗数で書くことになっている領域では、３は被乗数である。かけ算の可換性は自明の前提として、文化圏や分野により、書式として順序が定まっていることが多い。
２）もう一つの文脈は、現実や文章題である。プリンが３つ連なったパックを２つ購入するとき、あるいは、「購入したとき全部でいくつ？」という文章題を解くときは、３が被乗数で、２が乗数である。３が一つ分の数で、２がいくつ分である。
他社製２個入りパックを３つ買う場合は、総数は同じ６個でも、式の意味が違う、というだけではない。他社製のパック単価は２／３というわけではないので、合計金額や味も違ってくる。この場合は、３が乗数で２が被乗数である。
既述のように、３個入りパックを２つ購入する場合は、３が被乗数で、２が乗数である。だが、こう言っただけでは、まだ、３（被乗数）×２（乗数）なのか２（乗数）×３（被乗数）なのか決まらない。しかし、もし１）で言われた、表記慣習があれば、どうであろうか。
乗数×被乗数の順にかけ算の式を書くのが習慣である文化圏や分野では、「３個入りパックを２つ」の文章題が与えられたとき、２（乗数）×３（被乗数）という式になる。１）と２）の両方があって、順序が定まるのである。
日本の算数教育では、被乗数×乗数の順序とする慣習が明治期以来あり、式は３（被乗数）×２（乗数）と書かれる。小学校では、この表記慣習に従って、式を立てられているかどうかで、被乗数と乗数の違いを意識しているかがチェックされる。九九の暗唱だけで満足し、この違いを意識しない児童は多い。
だから、「プリンのパックで２つあり、１パックには３つずつプリンが入っています。全部でプリンは何個？」という、文章中に乗数が先に現れる文章題で、少なからぬ児童が、この順序に誘導されて、九九を機械的に適用し、２×３と書いて、バツにされる。
だが、バツを付けてそれて終わりではなく、児童はマルになるまでやり直しする。つまり、テスト直しで、式を一つ分×いくつ分の基本図式の意味に従って立てることにより、一つ分といくつ分の意味の違いを改めて意識するのである。
かけ算の順序が違ってバツになるのは、基本的に、文章題の立式に限られる。文章題という文脈が与えられているとき、一つ分といくつ分が定まるが、文章題の立式では、一つ分を先にするように、児童は期待される。これに対して、計算問題や文章題立式後の計算（筆算など）など、計算では、意味はあまり重要ではないから、実際、交換法則などを適用して、計算を簡単にする方法が、「計算の工夫」という題目で、教えられている。
それゆえ、日本の学校算数では、「かけ算は可換でない」というトンデモが教えられている、というのはデマである。黒木氏や定数氏、中二氏、鶴氏らの「超算数」批判は、このデマの流布に大いに加担している。
注
注１
同数累加によるかけ算の定義は、ユークリッドの『幾何学原論』にすでに見られる。当時、「被乗数」「乗数」という用語が確立していたかどうかは、わからないが、同数累加の定義が含んでいる概念としては、あった。
「数に数を掛けるといわれるのは、後者の中にある単位の数と同じ回数だけ前者、すなわち【掛けられる数】が加え合わされてなんらかの数が生ずるときである。」（原論第7巻定義16 中央公論新社、ギリシアの科学 p.331）
かけ算(multiplication)は被乗数(multiplicande)と呼ばれる数を、乗数(multiplicateur)と呼ばれるもう一つの数に含まれた単位の数だけの回数、選ぶ(prendre)、または繰り返す演算だとされている(p. 14)。ここでは、かけ算は同数累加と見なされているのである。
J.N. Noël, Arithmétique élémentaire raisonnée et appliquée, Luxembourg, J.Lamort, 1835. Google Books
（Twitter 2018/10/29のツイートなどに基づく）
J.N. Noël, Arithmétique élémentaire raisonnée et appliquée, Luxembourg, J.Lamort, 1835. Google Books
（Twitter 2018/10/29のツイートなどに基づく）
