式は場面を表すのか？

 「最大の問題は、あなた自身が、式が場面状況を表す、という前提を疑っていないことです。これこそが最大の過ちです。式が表しているのは場面ではなく、数です。」（Twitter 定数氏 2022/02/20 10:31PM）

式は一般には、数字ないし文字と演算子から構成され、計算の手順ないしはプログラムや、その結果を表していて、状況は表さない。ab-cはaとbの積からcを引くことと同時に、その結果を表す。定数氏は、式が表すのは数だと言っているが、それは十分ではない。

式が状況に関係づけられることはあるが、一般には、その関係づけは、演算や式にとって偶然的だと見なされている。だから、合併／増加、求残／求差、等分除／包含除などの、演算が適用される状況の分類は、数学の外部の話だと思う人が多い。

しかし、初等数学教育では、式を状況に強力に関係づける教育的な必然性がある。というのも、児童が四則演算を習い始めるとき、児童がすでに獲得しているのは、もっぱら、生活や物語（お話し）を通して児童に馴染みの具体物の変化と操作、配置などだから、である。

四則演算を習い始める児童も、少なくとも、数を数えたり簡単な足し算をしたりくらいのことはできるであろうが、数学的な基礎はないに等しい。中学でf(x)=3x-2のような関数の式を理解できるのは、小学校卒業までに四則演算や、空欄□を含む式をすでに学習しているからこそ。

ある未知の事柄を理解するには、未知を既知に組み込み関係づけなければならない。関係づけられないと理解できない。だから、式を理解できるようになるには、それを、低学年児童に馴染みの具体物に関係づけないといけない。そして、その具体物の世界は、明晰で単純な数学的イデアの世界と対照的に、雑多で鈍重で不純な世界なのである。

ひき算を習うときは、ひき算が適用できる状況のうち、１年生にも馴染みの、お菓子を食べる、公園で遊ぶ、といった物語に対応させる。お菓子を６個もらって、そのうち４個食べたので残りは２個だとか、公園で７人遊んでいて３人帰ったので、今は４人遊んでいるとか。

これは、算数学で求残と呼ばれる状況である。ひき算が適用できる日常的な状況のもう１つのタイプは求差である。「兄が７枚、弟が５枚カードをもっているとき、違いは何枚？」といった文章題で表されるような状況タイプである。差は静態的な状態で、変化や動作の物語にできないので、小１にはより難しい。

求残と求差は、ひき算が適用できる状況や文章題の分類で、一般にはこれは、ひき算そのものの分類とは見なされない。数学的には、ひき算そのものには求差も求残もないと言えよう。

だが、このような具体的状況から、状況に基づいて、状況のなかでひき算という演算を理解し始めている児童にとって、演算は状況からまだ十分に独立していないのである。児童にとって、式は、状況のなかにまだ半分以上埋もれていて、十分に独立していない。

児童の抽象的思考は未発達で、児童は具体物に即して考える（具体的操作期）。だから、四則演算を習ったばかりの児童は、大人が理解しているようには、演算やその式を理解していない。児童にとって、状況から式を立てた途端に、状況が式から失われることはない。文章題から式を立てた途端に、式が文章題から切り離されるわけではない。

だから、この学年の児童にとって、そしてまた、「そのような児童に演算の基礎を教えるにはどうしたらよいのか」を考える算数学においては、求残と求差はひき算そのものの分類だと言ってよいのである。ひき算には求差と求残がある、と言ってよいのである。

定数氏に限られないが、自由派の多くは、このような教育的状況の固有性がまったく理解できていない。この意味で、定数氏らは、初等数学教育を論ずる資質を疑われても、やむをえないであろう。

なお、求差と求残のようなものは、演算が適用される日常的状況の分類であり、「求差と求残という、互いに異質な２つの実体がある」といった形而上学的な主張がなされているわけではない。それはおおよその区別、暫定的な分類、であってもよいのである。

だから、どちらに分類してよいかわからない状況とか、観点によってどちらにも分類できる状況があってもおかしくはない。たし算が適用できる状況タイプのうち、小１が学ぶのは、合併と増加である。合併と増加はひき算の求残と求差に比べて、とても近い関係にあり、境界も明瞭ではない。両者の区別の基準の１つが時間である。合併は同時的だが、増加は時間差がある。しかし、合併でも、厳密な同時性ということは考えられない。小１が満足できる程度の精度の、おおよその同時性であればよいのである。

こうした曖昧さや不明瞭さは、分類そのものが無効だとかナンセンスだということを意味しない。男性と女性のどちらにも分類しにくい中間的な性があるからと言って、男性／女性の概念的な区別が無意味になることはない。ある人の右はその人に向かい合う人にとっては左にある。だからと言って、左／右の区別がナンセンスになるわけではない。これと同様である。

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「式に意味などない、式が表しているのは数であり場面ではない、とすれば一切がすっきりするのに、なぜそういないのか、理解に苦しみます。」(Twitter 定数氏 2022/02/20 10:41PM)

児童は、日常的な状況のなかの具体物の変化や配置などに基づいてしか、演算や式のような抽象的なものを理解できないのに、なぜそれを否定してしまうのか、理解に苦しみます。

（Twitter @flute23432 2022/02/21 00:10PM などに基づく）

式を状況に強力に関係づける

小学校低学年の児童は、論理的な思考が未発達なので、New Math時代に行われたように集合概念を使って、理論的に説明しても、演算や式のような抽象的なものを理解できない。

では、筆算のやり方のような手続きだけを教えれば、たしかに、できるようにはなるが、何をしているのかが本人にはわからないままとなり、計算ミスをしても、ミスであることに気づきにくくなる。心のなかにピザを切り分けるイメージをもっていないと、1/2+1/3 が１（丸１枚）を越えないことがわからない（注1）。また、計算の意味を教えないと、文章題ができなくなり（注2）、したがってまた、数学を生活や仕事に数学を応用する力がつかない。

だから、算数教育では、式のような抽象的なものを、子どもにも馴染みの日常的な具体的状況のタイプにあえて【強力に】関係づけて、教えるのである。状況タイプを表すお話し（ストーリー）や絵、ブロックの操作などに関係づけて、たし算を教えるのである。

実際、理解するとは、新しい知識や考え方を、既得の知識や能力に組み込むことであろう。ただ、児童の場合、既得の知識や能力が経験豊かな大人に比べて少ないというだけではなく、その性格も前論理的・物語的という点で違っている。

たとえば、たし算だったら、「アヒルが池に２羽あるところに、３羽がやってきた。今は何羽？」というお話し（例題である文章題）をもってくるのである。次に、これを２つのブロックに３つ追加する動作に対応づけることで、児童はアヒルの絵とブロックに共通する数の変化に注目するように、仕向けられる。

これは増加と呼ばれる状況タイプで、たし算が適用されるタイプには、他には、合併がある。合併の状況というのは、たとえば、１つの水槽に右から男の子が金魚を３匹、左から女の子が２匹入れること。引き算が適用される状況タイプのうち１年生がまず学ぶものには、求残と求差がある。求残は、「公園に7人いて3人帰ると何人？」、求差は「男の子7人、女の子3人、違いは何人？」。

その状況タイプというのは、習っている演算が使える典型的な状況で、解決（今何羽？）を要求しているようなものである。それは、配置であったり、行為であったり、変化であったりする。タイプ（類型）なので、求残に分類される状況や文章題は、無数にある。「公園に7人いて3人帰ると何人？」も「バスの乗客11人、3人降りて今何人？」も求残である。

実際に児童に提供されるのは、状況そのものではなく、たいていは、状況タイプに対応する例題（文章題）や絵である。ここから、たとえば、求残の文章題なら、減少という変化と、最初の量と減少分を表す数値を読み取り、尋ねられている残りの量を、引き算で求める。

式と状況のあいだを行き来できるようにするために、逆に、式が与えられて、式から文章題を作る（お話作り）という課題も立てられる。状況から式にだけでなく、式から状況に行く。もちろん、文章題としての出来不出来は重要ではない。かけ算の式が与えられたのに、たし算の文章題を作ってしまうのでなければよいのである。

状況タイプや例題（文章題）は、演算が適用される対象であるが、低学年生にとっては、それは同時に、演算の意味を理解する手段でもある。状況や文章題は、単なるサンプルや代入例ではなく、それなしには、児童が演算や式を理解できない何かなのである。

このことがわからない人たちが、たくさんいる。児童に演算を理解させるために、式を状況に【強力に】関係づけるこのような算数教育が、数学や式、数の抽象性を否定するものだと、勘違いの批判を展開する者たちがいるのである。式に意味などない、という極端な主張さえある。

「「数式に具体的な意味あり」派は、数式の凄い所を分かってんのかな。」（twitter 酢酸氏 2017/01/12 00:28）

「抽象化した数値演算だけでは具体的場面は消えています。」（twitter 大石氏 2013/01/02 05:08）

「数値と演算記号だけで抽象化することによって式を作ったのに、そこにもう一度個別の事情を持ち出すのはどうなの」（twitter 塚本氏 2019/03/13 21:32）

「#超算数 は、抽象化された式を、抽象的に捉えてはいけないという教義が潜んでいる」（twitter 卓氏 2020/03/05 05:37）

「場面を（情報量をそぎ落とし抽象化した）式で表現しようとするのがそもそも間違い」（twitter Ａ犯氏 2019/10/2119:04）

「たとえば、「式の意味」というのに異様に拘り抽象化を否定するというのがあり、掛け算順序固定もそのひとつ」（twitter 定数氏 2014/08/22 05:59）

「数学的には等価な式に、見た目の違いで過剰な意味を持たせるのは、抽象化による利点という数学の本質に逆行しています。」（twitter 塩澤氏 2013/12/07 23:46）

式はたしかに、状況にくらべてずっと抽象的だが、しかし、小１が到達できる抽象性のレベルは、その後も続く抽象化の道程のほんの序の口にすぎないのに、あたかも、小学生が数式に触れたとたんに、高等数学並みの抽象性を獲得したかのような言いぶりなのである。

だが、こうした批判は、低学年の児童の物語的で絵画的な思考の特性を無視し、演算の学習を不可能にしかねないものである。

算数教育で式と状況（場面）との対応関係が強調されるのは、けっして、式が一般にそのように特定の状況に縛られている、ということを言おうとしているのではない。式と状況の対応は教育的な状況で求められていることであって、数式と現実の関係について一般的に何かを主張するものではない。ましてや、式と場面が一対一に対応するなどと主張するものではない。そうではなく、児童に演算の意味を理解させるのに、あえて状況に関係づける必要がある、ということなのである。

抽象化に向かって飛躍するには、助走距離を確保するために、後ろに十分に下がらなければならない。

演算は、それぞれの演算が適用される状況のタイプに、児童が理解しやすい形で、関係づけられる。まず、状況タイプの数が限定される。たとえば、かけ算が適用される状況にはさまざまなものがあるが、そのうち、〈同数グループ〉タイプは、低学年の児童にも理解しやすいものである。

だから、「Ａ君の身長が105cmで、Ａ君の弟の身長はその0.8倍です。弟の身長は何cm？」（倍）、「Ａ君は男の子４人女の子３人のあいだで考えられるダンスペアは全部で何通り？」（直積）のような、低学年には難しい状況タイプは、さしあたり、無視されている。

次に、文章題の表現も、限定され単純化されている。たとえば、合併タイプのたし算文章題には、ほとんどの場合、「合わせて」という表現が、そのタイプの印であるかのように、用いられている。小１は、それを手がかりとして、引き算でなくたし算が適用できるケースだと認識する。

かけ算の文章題なら、「ずつ」という表現を手がかりして、一つ分の数を見つけることはできる。もちろん、「３つ袋があり、そのどれにも４つ詰めるとき、キャンディは全部で何個？」「厚みが同じ4cmの辞書を５冊積み上げると高さは何cm？」のように、「ずつ」を含まない文章題もそれなりに出てくるので、「ずつ」や他の表現を通して、最終的には、かけ算が適用できる数的関係・変化の認識にいたらなければならない。

「合わせて」や「ずつ」に注目するように教えることが、「無思考的・機械的なパターンマッチングだ、これが読解力の低下をもたらしている」と批判されることがあるのだが、この批判は、それが表現の表面に留らずに、表現【を通して】意味と構造に至ろうとするための手がかりにすぎないことを、見落としている。


注

注1
Ｓ・ドゥアンヌ『数覚とは何か？』（早川書房 2010年）p.255
「別の例を見てみよう。1/2+1/3の分数計算だ。分数について、心の中に直感的にパイのイメージを持っている子どもは、半分のパイに1/3のパイを足したなら、結果は１より少し少ないくらいだということは、すぐにわかる。……それとは対照的に、分数に直感的な意味を持てず、分数とは、水平な棒で区切られた二つの数字だとしか思えない子どもは、分子どうしと分母どうしを足してしまうという、古典的誤りに陥る可能性が高い。」

注2
古田優太郞ジャマ育.comからの引用
「子どもの文章問題のできなさは危機的状況です。それは、こういった計算の意味を理解するための指導がないからじゃないかなと考えています。」
https://fruta-math.com/what_is_subtraction/
「ジャマイカでは全くそういった指導はされていなくて、計算の意味と計算式がつながっておらず、それが文章問題の理解の低さにつながっているのかもしれません。」(2017/02/25）
https://fruta-math.com/2017-02-25-084901/


（2020/03/10 09:39 AM, 09:45 AMのツイートに基づく。）