「長方形の面積を「縦×横じゃないと駄目。横×縦だとバツ」という馬鹿教師は複数存在している」（ツイッター 定数氏 2017/10/28 6:14） そのように採点する教師は本当に馬鹿なのか？
公式は、算数では、言葉の式と呼ばれている。当然のことだが、言葉の式（公式）は、ただ盲目的・機械的に暗記しても、使えるようにはならない。基準量×割合＝当該量、当該量÷割合＝基準量という公式を覚えても、割合の文章題に出てくる、割合以外のもう１つの数値が基準量なのか当該量なのか判断できなければ、どちらの公式を使ったらよいのかわからない。
こうした事態を避けるためにも、公式の学習では、その公式がどうしてそのようになっているか、を理解しておくことが大切である。たとえば、三角形の公式では、どうして２で割るのか、ということを。同時に、その公式が何に、どういう状況に、適用できるかも知らなければならない。台形に三角形の面積の公式を当てはめてはならない。
算数の教科書は、公式を使って面積や速度、割合、金額の計算を教えているから、公式主義と言えるかもしれない。しかし、公式暗記主義ではない。というのも、たとえば、５年の算数の教科書には、三角形の面積がどう求められるのかについて、３通りの考え方が示されているからである。これが分かっていれば、たとえ公式を忘れてしまっても、公式を再構成できるであろう。黒木玄氏はツイッターで、「小学校の算数は、児童に公式を意味も分からないまま暗記させ、それを機械的に当てはめさせている」ようなことを、繰り返し言って批判しているが、この批判は見当違いである。
（画像は、東京書籍2014下36より抜粋）
３つの考え方から、三角形の面積を求める公式は３つ導き出せそうであるが、実際には「底辺×高さ÷２」の１つに固定されて教えられているのは、それらが公式だからである。公式は覚えればよいものではないが、覚えるためのものということも、依然として真実である。覚えるためには表現や順序は１つに固定しておいた方がよい。
（画像は学校図書算数教科書５2016 p188より）
長方形の面積を求める公式は、縦×横と教科書に載っているのであるから、この形で覚えておけばよい。掛け算が可換であるという理由で、あるいは、掛け算の可換性を知らないと思われたくないという理由で、縦×横と横×縦の２つを書いたり覚えたりする必要はない。この意味では、多くの教科書に見られる、「横×縦でも同じだね」といった注記は不要である。
（大日本図書４ 2016 p140）
長方形の面積の公式には、ヴァリエーションが２つしかないから、その馬鹿馬鹿しさは目立たないが、直方体の体積の公式について、もしすべてのヴァリエーションを提示するなら、次のように６通りもできる。
縦×横×高さ
縦×高さ×横
横×縦×高さ
横×高さ×縦
高さ×縦×横
高さ×横×縦
でも、こうした列挙は無意味だし、滑稽である。教科書としては１つの形だけ提示しておけばよく、そして、学習者としては１つの形で覚えておけばよいのである。もし位置を交換する必要があれば、計算の過程で、交換法則や結合法則で順番を変えればよい。
大人は長方形は90度回転させれば（視点を90度変えれば）、縦の長さは横の長さに、横の長さは縦の長さになるので、計算ではなく公式そのものにおいて、縦と横はどっちでもよい、と主張するであろう。しかし、そうした図形（あるいは視点）の自由な移動・回転・反転にもかかわらず保持される図形の同一性、という抽象的な見方は、小学校や中学の学習の過程で、はじめて獲得されていくものであり、既得能力として前提としてはならない。小学生から言わせれば、縦2cmと横8cmの横長の図形と、縦8cmと横2cmの縦長の図形は、縦も横も長さが違う別の図形である。
だいたい、長方形面積や直方体体積の学習では、交換法則とか場合の数（順列・組合せ）はテーマではない。４年生にとって、交換法則や結合法則は学習済みで、ここで、交換法則を適用して公式のさまざまなヴァリエーションを考えることに、どんな意味もない。
教科書に載せ、そして児童が覚えるべき１つの形は、どれでもよいとも言えるが、教科書によってバラバラというのは避け、やはり、できれば、人口に膾炙した形が適切であろう。欧米では、三角形の面積の公式の形は、÷２が１／２として先頭にあったり、Ｂｈ／２と分数の形だったりということはあるが、底辺Ｂ(base)と高さｈ (height)は、いつも、Ｂｈの順である。底辺を決めないと高さが測定できないという測量上の都合であろうか。
長方形の面積の公式は、日本の算数教育では、過去いろいろな経緯があったらく、長いほうの辺の長さを最初にもってくる様式や、横×縦の様式が採用されたこともあるらしい（注1）。現在では、世界的ではないが、長方形の面積は縦×横で、直方体の体積は縦×横×高さで、定着している。この順番に合うように、直方体の場合を例にとると、なぜその公式で体積が求められるかの説明も、まず1cm^3の単位立方体を奥行き方向（縦）に直列的に並べ、そうしてできた棒を横（幅）に並べ、そうしてできた板を積み上げる、となっている。あえて、これと異なった形で覚える必要はない。
ドリルや単元テストは授業の一環であるから、それらでは、教科書に載っていて、そして授業でも習った、定まった形の公式を適切な対象に適用できるか（正しく使えるか）を確認することが、目的となる。この過程で、公式が頭にちゃんと入っているか、の確認も当然、行われる。長方形の面積を求める公式が、もしかりに日本で、長さ（長辺）×幅（短辺）であったら、今度は、児童が、辺の長さを判断して、長辺の長さを表す数値を×記号の前に置けるかどうかが、チェックポイントとなる。
逆に言えば、授業の一環ではない実力テストや資格試験、授業とは関係なしに趣味や力試しで解く問題では、そのようなことは要求されない。このような状況では、受験者の学習背景が多様であったり（私立校出身者、帰国子女、等）、授業というコンテキストがそもそも無かったりする。単元テストでは必要になってくる、「教えたことができるようになっているか」の確認、つまり、フィードバック、がここには、不要なのである。
単元テストには、単に公式の一部を空欄にして、そこを埋めさせる、つまらない問題形式もあるが、やはり、定番は、具体的な長さの数値が入った図形を示して、その面積を求めさせる設問である。それ以外にも、池や畑、花壇などを例に使った文章題もある。（下の画像は、光文書院のＶドリル５下 19より ）
たとえば、三角形の形をした溜め池が図（底辺80m、高さ123m）で示されている文章題では、式はまず、学習した公式「底辺×高さ÷２」に従って、80×123÷2と立てる。これによって、教師は児童が公式を習得していることを確認できる。
同時に、教師は、児童が底辺や高さが三角形のどこを指しているのかを理解しているかどうかも、確認できる。ダミーの数値に騙されて、高さをそちらと誤解する例もある。もし、高さ×底辺で「も」よいということになると、児童が底辺と高さそれぞれを正しくとらえているかが、確認できなくなる。この意味でも、式の最初を公式通りに書くことを求めることは、有益である。
公式主義と批判されようとも、ともかく公式で三角形の面積の求め方を教えているのだから、そして、教えたのだから、公式が児童の頭に入っているかどうかを確認するのは、当然である。公式は使用し適用するためのものであるから、数値が入った具体的な三角形の図（絵）を使った問題で、公式を正しく使用できるかどうかもまた、チェックする。公式の習得があやふやで、長方形の面積を求める問題で、縦と横の長さを足してしまう児童もいる。
しかし、公式通りが求められるのは立式までである。立式後の、＝記号での言い換えや筆算、暗算では、つまり、計算過程では、計算しやすいように計算すればよい。80に123を掛けてから２で割るより、80をあらかじめ２で割って40にしておいたほうが、計算が楽だ。
=(80÷2)×123 ←結合法則・交換法則（÷２を×1/2と解釈して、順序を変更）
=40×123
=123×40 ←交換法則
=4920 答 4920m^2
40×173の計算は、筆算で行うと、173×40のほうがしやすいであろう。ここで交換法則を使い順序を逆転する。次の画像は、教科書の、面積ではなく、２位数と１位数のかけ算の箇所だが、ここでも、筆算のような計算過程では、交換法則が適用され、立式での一つ分×いくつ分の順序が逆転している（画像は東京書籍2011３下 p.68より）。
だから、公式に従った立式と、交換法則や結合法則の適用とは、両立可能、同居可能なのである。公式通りでない立式でバツにしたからと言って、算数で掛け算の可換性を否定した、ということにはならない。
ましてや、小学校の教師は交換法則を知らない、ということではない。ただ、バツになった答案を写真に撮ってネットに掲載されると、「嘘が教えられている」という誤った印象が生ずるので、この誤った印象に惑わされないように注意すべきである。小学校では、交換法則は２年次に学ばれ、そして、それ以降、実際に、繰り返し使われている。
掛け算の単元でも同様で、２年生は掛け算を、次の公式（言葉の式）で学ぶ。この公式のこの形・順序は日本の算数に固有で、英語圏の算数教育では、グループの数×グループの構成員数、 などと、日本と逆順になっていることが多い。
（画像は、啓林館算数教科書2016２下 p.5より。一部カット）
（"Multiplication Strategies Anchor Chart", by HoppyTimes）
一つ分×いくつ分＝全部の数
２年生はまだ、四則演算を学習し始めたばかりであり、式を書くこと自体に、まだ習熟していない。だから、引き算で、文章中の順番に惑わされて、５－７＝２のような式を立てがちである。このような言葉の式（公式）は、立式の学習の際してのお手本のような役割を果たしている。習字におけるように、最初は、お手本をなぞるようにして、児童は掛け算の立式を学ぶのである。
一つ分などが特定できない計算問題では別だが、掛け算の文章題では、この言葉の式に従った立式が求められる。立式を見ることで、教師は、児童が、この言葉の式をしっかり押さえているかどうか、一つ分といくつ分をそれぞれ正しく把握しているかどうかを確認できる。
低学年で出会う掛け算の文章題は、単純で、一つ分といくつ分を把握していなくても、文章中に含まれる数値を、ともかくも九九で掛ければ、答えが出てしまうということも多い。だから、一つ分といくつ分を特定したうえで、公式通りの式が立てられるかどうかはポイントの一つになる。
たしかに、一つ分といくつ分が正しくとらえられていれば、公式通りの式を書けるが、その逆は必ずしも言えない。だが、人の知識や能力を測る完全な設問というのはない。教師が直面している現実の問題は、文章をよく読まずに、数値だけ取り出して九九を適用する安易なやり方に対する牽制である。トランプ配りで一つ分といくつ分をそれぞれいくつ分と一つ分と解釈する児童、いくつ分と一つ分をしっかりとらえた上であえて逆順で式を書く児童、は自由派の議論のなかにしか出てこない。
公式を意識しないで式を書くことでバツになった答案を、写真に撮ってネットにアップするならば、「式はまったく正しいと思われているのになぜバツなのか」、「小学校では、掛け算の可換性を否定するトンデモ教育が行われているのか」という勘違い議論が巻き起こる。
（上記採点例の画像は、日本標準の単元テスト12.かけ算(2)①からの抜粋）
勘違いが起きるのは、写真に撮ってネットにアップされると、その言葉の式で掛け算が教えられ、児童の側でもそれに対応することが期待されている、という文脈がカットされてしまうからである。一つ分といくつ分をしっかりとらえられるようにするという教育的コンテキストがカットされてしまうからである。
色板の絵を使った上記の文章題も、「……全部で何枚要りますか。式は授業で習った言葉の式に従って書きましょう。」という文言が入っていると考えると、授業という文脈が少しは補われ、どうしてバツなのかが理解できる。「習っていない（２年で習っています！）交換法則を適用したからバツ」なのではなく、習った公式に従ってないからバツなのである。
注1 東京書籍の教科書で、縦×横と横×縦が併記されているのは、この辺の葛藤の痕跡である、という。伊藤隆「長方形の面積の公式における「縦×横」の変遷と多様性について」 群馬大学教育学部紀要自然科学編第57巻5-14頁2009 参考。
https://gair.media.gunma-u.ac.jp/dspace/bitstream/10087/4713/1/02_%E4%BC%8A%E8%97%A4.pdf
他の教科書が、注（マスコットの吹き出しの中）で併記されているのは、また別の事情によるもののようだ。数学史ライターの高橋誠（メタメタ）氏によると、上野健爾氏の審議会発言が学習指導要領の記述を、そして、教科書の表記を変更した契機になった可能性が高いとのこと。
メタメタ氏「「縦×横＝横×縦」と明記しても「底辺×高さ＝高さ×底辺」と明記しない理由」(2011/08/31)
http://ameblo.jp/metameta7/entry-11002953474.html
（付記）天蒸氏によると、この上野発言以前から（1990年代から）、教科書の記述は、横×縦を注記したり併用したりし始めていたという(twitter 2018/12/26 15:22, 2015/11/12 06:48)。この点が実際どうなっているかは、機会があったら教科書の記述を調べて見たい。天蒸氏が正しいとすると、上野氏の発言は、すでに起きていた縦×横単記から併記への誤った動きを構成する１つの要素にすぎない、ということになりそうだ。
（twitter 2017.10.29投稿に基づく）
