見えざる書式と教育的なバツ

見積書・請求書類は、単価欄が先、数量欄が後のものも一部あるようだが、多くは、数量欄が先、単価欄が後である。これは、海外の経理書類の影響なのであろう。

 （敦賀市商店街会計調査 昭和15年 p.40 NDL-DC）

どちらのスタイルの請求書であろうと、「掛け算に交換法則が成り立ち、順序がどうでもよいという理由で、実際には124円のものを7冊購入したのに、次の画像のように、単価を数量欄に、数量を単価欄に記入するようなことをすれば、合計金額は同じ868円でも、在庫や利益にとんでもない影響が出かねない。

元いた職場と数量欄と単価欄の位置が逆でも、今の職場の書式に合わせて、単価を単価欄に、数量を数量欄に入れるようにしよう。もし、新入りの社員が上の画像のように間違えて入力してしまっていたら、言って直させよう。上司は、直させても、掛け算の可換性を否定したとして数学者から訴えられることはないであろう。

というのも、書式の上で順序を指定し固定しているだけで、直させた上司としては、乗法の交換法則のような基本的な数学的原理を否定する、などという大それたことを企てるつもりは毛頭ないのだから。社内の意思伝達や経理的な正確さのために、書式を統一しているだけの話である。7円のものを124個売る場合も、同じ868円になること、つまり、掛け算には交換法則が成り立つことは、もちろん、上司もわかっている。

ところで、小学校の算数では、掛け算を、同数グループがあったとき、各グループの構成員数（一つ分）とグループの数（いくつ分）から全部の数を求める演算として習う。式は、一つ分×いくつ分＝全部の数、という範型に従って立てることを習う。

「袋が３つあり、各袋に４個ずつキャンディを詰めるとき、キャンディは全部で何個要る？」という文章題では、一つ分が各袋の個数４で、いくつ分が袋の数３である。式は、〈一つ分×いくつ分＝全部の数〉の図式に従い、4×3=12のように書くことを習う。単価×数量はこの一つ分×いくつ分の１つ応用で、「124円の漢字練習帳を7冊購入したとき支払うのは何円？」という文章題では、124×7=868と式を書く。教科書は、経理書類の主流とは逆のこの順序で統一して書かれており、小学校の教師もこの順序で式を板書している。

学校では、掛け算の文章題の立式において、この同数グループの数的関係が、そして、一つ分といくつ分がそれぞれ正しく把握されているかどうかを確認できるように、児童にも、乗号の前に一つ分の数を、後にいくつ分の数を置くように、言っている。つまり、一つ分×いくつ分、単価×数量の図式に従って式を書くように、言い換えれば、教科書に載っている順に書くように、言われている。

この指示は、原則、学校算数の文章題の立式においてのみ、適用される。意味が重要ではない計算問題や、文章題でも立式後の計算（筆算やとでの言い換えなど）では、一つ分×いくつ分の順に書くことを求められることはない。また、これは学校算数内において、教育的な意味で設定されているルールなので、学校外の入学試験や検定試験などでは、無効である。

4×3=12や124×7=868は式なので、見積書のような欄はないが、このルールでは、乗号の前に１つ分欄、後にいくつ分欄があるようなものである。児童は、掛け算の立式の習得を目指して、いわば、この見えざる書式に書き込むように、式を立てる。中高生になれば、さまざまな考えに基づいて、同じ答えが出せる式のヴァリエーションを多数考えることができるようになるが、小学生は式の立て方を学んでいる最中で、まずは、範型をお手本として、１つの、ないしは限られた数の、式の立て方を習得することに集中・専心するのである。

「袋が３つあり、各袋に…」のように、文章題文章にいくつ分の数が先に出てくると、小学生はそれに誘導されて、式でも、いくつ分を先に書きがちである。ドリルや単元テストなどで、そのような文章題が出ると、３×４と式を書いて、答えは合っていても、式がバツになる。

バツにしても、教師は掛け算の可換性という数学上の原理を否定しているわけではない。嘘も方便だと思って、掛け算を非可換なものとして教えているわけでもない。それどころか、掛け算では、被乗数と乗数の数値を入れ替えて計算しても、答えは同じになる、という交換法則を、児童は繰り返し学んでいる。
参照 flute23432 「交換法則の学習」

バツになった答案が保護者によってネットにアップされると、ネットにたむろする数学屋たちが、これぞと言わんばかりに、「嘘を教えるな」と、非難の大合唱を始める。だが、その非難は、数学的内容と書式という２つのレベルを混同するもので、教師は気にする必要はない。解答欄を取り違えて解答すれば、バツになるであろう。それと同様に、教育的に設定されたルールに従って数値を正しく配置していないから、バツにしたのであり、掛け算の可換性を知らないからバツにしたのではない。それは数学的なバツではなく、教育的なバツなのである。

他にも、学校では、答え欄の答えに助数詞（「個」「枚」「匹」…）を書き忘れたり、アラビア数字ではなく漢数字で答えたり、分数の計算問題で答えを帯分数にしなかったりすれば、答えが合っていても、バツになることはある。これらは、数学的には問題がなくても、書かれざる指示（ルール）に従わなっていないという理由でバツになる。

算数では、バツを付けて終わりではなく、バツは理解に向けた踏み台である。小学校では、ドリルやテストでバツになった箇所の直しが宿題に出されることが多い。児童は、間違ったところを青鉛筆で直す際に、なぜバツになったかを考える機会を与えられる。その際に、掛け算に固有な、同数グループという数的関係を、改めて意識するように、児童は求められるのである。

テストにおける書かれざる指示

学校の算数では、「長いすが７つあります。１つに６人ずつすわると、みなんで何人座れますか？」という掛け算の文章題では、７×８と式を立てると式がバツになる。

これは、学校の算数では、かけ算を

一つ分×いくつ分＝全部の数

という図式で習うが、その一つ分といくつ分をそれぞれ正しく把握できているかを診るために、掛け算の式は一つ分×いくつ分（被乗数×乗数）の順に書くことが求められているからである。一つ分とは、同数グループがあったときの各グループの構成員数で、いくつ分とはグループの数のことである。これがわからない児童は、一つ分×いくつ分の順序で、式を書くようにという要求に応えられない。

これに対して、「もし順序を指示するのであったら、ちゃんと問題文に書くべきだ」「書いているなら、指示に従っておらずバツもやむをえない」と言う人もいる。

だが、そのような書かれざる指示というのは、無数にあり、書き尽くすことは、もともとできない相談なのである。試験（テスト）における、そのような書かれざる指示には、たとえば、次のようなものがある。

解答用紙の氏名欄には、先生の名前や好きなタレントの名前ではなく、自分の名前を書く
万年筆やボールペン、サインペン、毛筆、赤鉛筆ではなく、黒鉛筆を使って答案を書く
少なくとも読める程度に丁寧に書く
解答は（解答用紙の）対応する解答欄に書く
マークは１列に１箇所だけ
問題が解けなくても隣の人に協力を仰いだりスマホを検索したりしない
できてもできなくても、答案は提出する
記号を書きなさいとあったら、記号だけを解答用紙に書く、記号が円で囲まれているものであったら、その円も含めて書く
…
…

こうした指示は、センター入試や検定試験のように、書いてあることもあるが、書いていないことも多い。試験の前に、口頭で指示されることもある。

試験一般ではなく、その教科固有の暗黙の指示もある。

たとえば、国語のテスト問題に「30字以内にまとめなさい」とあったら、26～30字はいいが、18字ではまったく足りないと見なされ、内容にかかわらずバツにされる。20字ではなく30字と指定したのだから、そのくらいの分量の記述が求められている、18字ではその要求に応えられていない、ということなのだろう。18字でも、30字以内には変わりないだろうとも言えるのだが、それは学校のテストや入試でも通用しない理解である。

「書き抜きなさい」とあったら、リード文の該当箇所を、句読点も含めて、変更せずにそのまま引用しなければならない。漢字をひらがなに、平仮名を漢字に勝手に変えてはならない。「なぜですか」ときかれたら、理由を書いていることを明確にするために、「～［だ］から。」と「から」を文末に付けて、答えを書かなければならない。これは理科でも当てはまる。

理科や社会などでも、国語のテストでもないのに、漢字を間違ったり、漢字で書くべきところを平仮名で書いてあったりすれば、バツになる。社会では、「第二次世界大戦」は「第２次世界大戦」とアラビア数字を使うと、減点される。

算数や数学のテストでは、たとえば、次のようなことが、暗に求められている。

数字は漢数字やローマ数字でなくアラビア数字を用いる（漢数字とアラビア数字を言い換える問題を除く）
断りがない限り、問題用紙に書かれた数字は十進法で理解し、解答も十進法で書く
計算問題では、答えは単一の数値になるようにする（4×3=4×3や、4×3-2 =12-2で計算を終わらせない）、
分数の計算では、答えは既約分数にする
途中式はかならず書く
乗号には・ではなく×を用いる
高学年になったら等号＝はそろえて書く
図形はテスト用紙が鼻水で歪んでも、曲面図形を習うまでは、曲面図形ではなく平面図形と見なす
…
…

求められていることに応えられていないと、バツにされる。

小学校の算数の授業内で、授業の一環として行われる、単元テストのようなテストでは、授業でやったことが習得できているかどうかをチェックするために、その種の書かれざる指示が、一般の試験に比べて、さらに多くなる。そのようなテストでは、その学校で、その授業で採用されている考え方や方法で解答を書くことが求められている。

細かく言うと、教員によってその指示は違っている。前回のテストで、数字を汚く書いている児童がたんさんいて、６と０のどちらがどちらだかがわからずに採点に困った教師は、テスト前に、「６と０は違いがわかるように書いてね」と言い、採点に際しては、とくにその点にこだわった採点をすることになる。

ところが、児童が答案を家に持ち帰ると、そのような、学校や授業での指示が脱落する、という現象が起きる。たいていの保護者は、そのような前提やら方法やらを知らずに、答案の採点結果だけを見るからである。このために、とんでもない誤解が生ずる。とくに、答案の一部がネットにアップされると、保護者を超えて、誤解が広がることになる。「脱文脈化効果」と勝手に呼んでいる。

順番が違うという理由で式がバツになっているかけ算の文章題の答案が、ネットにアップされると、「子供たちが算数・数学が嫌いになってしまう」、「日本の小学校では、かけ算は非可換という大嘘が教えられている」、「小学校の教師は掛け算の可換性も知らないバカだ」と、小学校の教育や教師が非難される、というのがその典型的な例である。

学校の単元テストでは、答えが計算問題ではなく文章題が示す問題状況に対する解決であることを意識するために、答え欄の答えには数値に、cmやLなどの単位、あるいは、「こ」「ほん」「ひき」「まい」などの助数詞を付ける、ということが求められている。書いていないと減点かバツである。何cmですかと尋ねているなら、単位はcmと決まっているので、書く必要はないとも言えるのに、である。

その他にも、次のような、書かれざる指示がある。

式欄に書く式は、28÷4ではなく、28÷4=7と、等号や答えも含めて書く
四捨五入や切り上げなどをして出てきた概数には、概数であることを明確に意識するために、その前に「約」を付ける
円周率はとくに書かれていなくても、3や3.141592653ではなく、3.14で計算する
仮分数と帯分数を言い換える練習も兼ねて、そしてまた、帯分数のほうがどのくらいの大きさを表しているかを把握しやすいので、分数の計算問題の答えは帯分数で書く
小数の筆算では、小数点以下がゼロしかない場合は、既習の整数と同じものであること（9.0がなじみの９と等しいこと）を意識するために、ゼロを斜線で消す
まっすぐな線を引くのが身体的に難しい低学年のうちは、分数や筆算の横線は定規で引いて、列や位置がずれて計算ミスを犯すのを防ぐ
……

小学生は４年次に、演算記号の種類や括弧による計算順序のルールを学ぶ。学んでいる間は、順序を明確に意識するために、そしてまた、ルールを習得できていない子がどこで躓いているかを診断するために、試験では要求しなくても、教科書の練習問題やドリルの問題をノートに解く場合は、色付下線とマル番号を付けて、順序を明確にすることが求められる。書いていなかったり、書いていても、適切でない場合は、やり直しである。バツになる。児童たちが、計算順序を間違わずに計算できるようになれば、それは求められなくなる。

授業では、繰り上がりがある足し算の計算問題を、さんらんぼを描いてやったのなら（さくらんぼ計算）、同じことを教科書等を見ずにできるかどうかが、単元テストでも試されている。だから、さくらんぼを描かないと、減点となることがある。こうした減点答案がネットにアップされると、授業やカリキュラムの文脈から切り取られて誤解され、「さくらんぼ計算を強制するな」という非難がネットで沸き起こることになる。

だが、さくらんぼ計算は、10進法位取り記数法の原理を、小１でも学ぶことができる、アメリカにも採り入れられた優れた、足し算の学習・教授方法である（Make a ten strategy と呼ばれる）。そして、さくらんぼ計算の学習のあとでは、カードで足し算九九の練習に入るので、さくらんぼ計算を使わない、足し算九九による方法が否定されているわけではない。どちらでも行うのである。それでも、足し算九九を学習する前に行われる単元テストでは、さくらんぼを描くことが求められるであろう。

三角形の面積を求める問題では、式は習った公式に従って、底辺×高さ÷２で書く。公式通りの式を求めるのは、とても、形式主義的で柔軟性がないように見えるが、高さがどれで底辺がどれかを正しく把握できているか、そしてまた、公式を覚えているかも、チェックされているのである。高さがいつも辺の長さだと思ってる児童は、この公式に従って立式することができない。

公式はただ覚えても使えるようにならないが、しかし、覚えるためのものであるというのも、依然として、真実である。小学生には、図形の面積はその周囲の長さを測ればわかると思う傾向がある。長方形の面積を、縦＋横で求めてしまわないように、三角形の面積で÷２を忘れないように、求積公式を覚えておくことが重要である。

掛け算の式を、教科書に倣って、一つ分×いくつ分、単価×数量の順に書くこともまた、掛け算の文章題を解答するとき、暗に指示されていることなのである。もししそれに従えていない式はバツにされるが、それは、掛け算が非可換だからではなく、その書かれざる指示に従えていないから、である。

だから、掛け算の文章題で式が逆だからバツというのは、掛け算の可換性という原理の否定ではない。掛け算の順序は、原理でなく、書式・表記上のレベルで求められているもので、一つ分といくつ分をそれぞれ正しく把握させるという教育的な意味で、設定されているのである。


注
高校数学でも、「関数f(x)の最小値を求めよ」という問いで、f(x)を最小値すとするxの値を挙げていない、もしくは挙げていても全部を上げていないとき、減点する教師がかなりいる。不等式の証明では、しばしば、問題文に書かれていなくても、等号成立条件を書くことが求められている。（2019/04/17 ツイッターでの定数氏によるアンケート結果による。）




（2019/04/17 20:07などのツイートに基づく。）