Ⅰ．わり算との対比において
わり算の式は
割られる数÷割る数＝答え（商）
のように、通常、割られる数（被除数）を除算記号÷の前に、割る数（除数）を後に置く。
しかし、演算記号との関係で被除数と除数をどの位置に書くか、という問題は、規約・取り決めの問題であって、そこに数学的な必然性があるわけではない。ポーランド記号法のように、演算記号を数字の前に置くスタイルもある。
19世紀のドイツの計算学者ディースターベーク(F.Q.W. Diesterweg)は、ドイツを含めた今日の標準の割り算の順序とは逆の、〈除数：被除数＝商〉というスタイルを提案している。今日のドイツであったら６：２と書くところを、左右逆に、２：６と書いているのである（画像参照 注1）。
ところで、わり算は、かけ算と違い、不可換で、被除数と除数を交換したら、商が違ってきてしまう。６÷２と２÷６では、商が違う。
６（被除数）÷２（除数）＝３
↓
２（被除数）÷６（除数）＝１／３
ここで、注意しなければならないのは、被除数と乗数の位置は変わっていない、ということである。もし、数字だけでなく、被除数と乗数の位置を交換して、つまり、単位もろとも交換して、ディースターベックのスタイルに従ったとすると、
６（被除数）÷２（除数）＝３
↓
２（除数）÷６（被除数）＝３
と、今度は、商に変化は起こらない。スタイル・書式が変更されただけで、計算は同じである。これでは、割り算の非可換性を示したことにならない。
だから、「割り算では被除数と除数を交換すると計算結果に影響が受ける」と言うとき、被除数と除数の位置を交換する、ということではなく、被除数前・除数後の順序は変えずに、数字だけを交換することを意味する。
割り算は、このように非可換だが、これに対して、かけ算は可換なので、小２ですでに学ぶように、被乗数（かけられる数）と乗数（掛ける数）を交換しても答えは同じである。
だが、この場合も割り算と似て、交換は、被乗数と乗数の位置を交換する、ということではなく、〈被乗数×乗数〉の位置を保持しながら、数字だけを交換することを意味する。ただし、割り算と違う点は、掛け算は可換なので、どちらの交換法則でも、答え（積）は同じということである。
つまり、交換法則とは、
３（被乗数）×４（乗数）＝１２
４（被乗数）×３（乗数）＝１２
（解釈的交換法則）
ということであり、
３（被乗数）×４（乗数）＝１２
４（乗数）×３（被乗数）＝１２
（位置的交換法則）
のことではない。
私は前者を解釈的交換法則、後者を位置的交換法則と呼んでいる。後者の位置的交換法則では、３個からなるまとまりを４つ（３＋３＋３＋３）、という意味は変わらず、ただ、被乗数を乗号の前に置く日本の算数教育で採用されているスタイルを、アメリカやブラジルなどで見られる、後におくスタイルに変えただけである。
「被乗数（かけられる数）と乗数（掛ける数）を交換して計算しても」という、算数教科書の交換法則の表現は、誤解されやすく、交換法則を位置的に理解している者も多い。〈かけ算の順序〉について著書がある高橋誠氏も、かつてはそうであったという。しかし、よく読んでみると、通常、交換法則として提示されているのは、前者である。
高橋誠氏は、世の中では〈数量×単価〉の順も使われているのだから、交換法則として、解釈的交換法則に加えて、位置的交換法則も教科書に一緒に言及されるべきだと主張している。だが、この交換法則は、スタイル、書式の変更にすぎず、交換法則として取り上げるだけの価値はないように思われる。
もし、取り上げるとしても、文化コラムのように、補足的にということにとどまるであろう。同じ筆算でも国によって数字を書く位置が違うことを紹介したコラムがあるが、あれに類するものとして。
Ⅱ．教科書等における交換法則
その高橋氏は、ツイッターで、教科書等で説明されている交換法則を位置的に理解する台風氏に対して、それはあくまで解釈的である、と反論している。台風氏によると、交換法則が解釈的であれば、つねに同時に位置的でもある、という。
「教科書の交換法則は、【甲】（かけられる数３×かける数４）＝（かけられる数４×かける数３）なのです。【乙】（かけられる数３×かける数４）＝（かける数４×かけられる数３）ではないのです。」（Twitter 高橋誠氏 2021/01/10 10:49PM）
「４行３列のアレイで【甲】が成り立つと
・長辺４は（かけられる数）かつ（かける数）
・短辺３は（かける数）かつ（かけられる数）
なので
（かけられる数４×かける数３）＝（かける数４×かけられる数３）
より【乙】が成り立ちます。」（Twitter 台風氏 2021/01/11 09:46AM）
「それは教科書の読み間違いで、交換法則に対する誤解です。教科書は必ず「被乗数×乗数」の順です。と言いいつつ私自身40年以上、小学校で教わった交換法則を誤解していた口です。それで実生活には何の支障もない。なのに、算数教育は、明治時代に西洋から数学を教わったことに律義に従っている。」（Twitter 高橋誠氏 2021/01/11 03:58PM）
「『かけられる数とかける数を入れかえても、答えは同じ』
の記述から
（かけられる数３×かける数４）＝（かける数４×かけられる数３）
と解釈するのは読み間違いだというのが理解できません。
普通に掛け算の交換法則の説明になっていますよ？」（Twitter 台風氏 2021/01/11 09:31PM）
「上の式は、
（かけられる数３×かける数４）
下の式は、
（かけられる数４×かける数３）
３と４を入れかえるが、かけられる数とかける数の順はそのまま。
上の式は、３＋３＋３＋３
下の式は、４＋４＋４
交換法則は、３＋３＋３＋３を3×4と書いても4×3と書いても良いということではない、のです。」（Twitter 高橋誠氏 2021/01/11 09:48PM）
この点は、高橋氏が正しいことは、上に書いた、割り算の非可換性との対比からも、わかる。教科書に立ち返ることによって、以下、このことを確認してみよう。算術や算数教科書に載っているかけ算の交換法則は、被乗数と乗数の位置を交換する位置的な交換法則ではなく、被乗数か乗数かの意味と単位を置き去りにして、数だけ入れ替える解釈的交換法則である。
小２の算数教科書は、交換法則を、九九表が完成したあとに正式に説明しているが、それに先立ち、九九の学習の途中から、その伏線を張っている。東京書籍算数教科書では四の段のところに、「４×３と答えが同じになる３の段の九九を見つけましょう」という設問がある。１つ前の三の段をふり返ると、答えが同じ12の九九が見つかる。それが３×４である。
４（被乗数）×３（乗数）【四の段】
＝３（被乗数）×４（乗数）【三の段】
二の段から始まる九九のすべての段が終わると、今度は、完成した九九表にいくつかの規則性を探す。その規則性の１つが交換法則である。答え（積）が同じ句に注目して九九表を見ると、左上から右下に下る対角線を対称軸とした、対称性が見られることがわかる。これは、たとえば、九九表の７×８と８×７の答えが同じであることを意味する。乗号の前後の数が入れ替わった関係の句は、すべて、答えが同じなのである。
そして、九九では、すべて乗号の前の数が被乗数である。九九はどの句も、〈１つ分×いくつ分〉〈被乗数×乗数〉の順なので、そのあいだに見いだせる、答えの等しさを等号で表せば、次のようになる（ｘ，ｙは９までの自然数）。
ｘ（被乗数）×ｙ（乗数）【ｘの段】
＝ｙ（被乗数）×ｘ（乗数）【ｙの段】
この規則性は解釈的交換法則にほからない。
交換法則は、アレイ図で説明されていることもあるが、この説明でも、交換法則は解釈的である。東京書籍教科書の問４の脇に描かれているアレイ図では、◯４個から成る縦の列を、線で囲っているのは、１つ分が４個ということ。それが３列分あるので、式は〈１つ分×いくつ分〉、〈被乗数×乗数〉の図式に従えば、四の段の４×３である。
次に、３個から成る横列を線で囲む。そうすると、構成員数が３のグループが４つできる。１つ分は３個なので、３×４は三の段の九九である３（１つ分）×４を表している。ここでも、１つ分（被乗数）は乗号の前である。
今度の画像は、教育出版の教科書の、交換法則を説明した箇所である。縦２個横６個のアレイ図で、交換法則が説明されている。式２×６のアレイ図では、縦１列の２個の◯が線で囲まれている。これが１つ分である。６×２の式では、同じアレイ図が、横１列を構成する６個の◯が線で囲まれている。６が１つ分なのである。アレイ図でも、乗号の前後の数が入れ替わった関係にある、答えが等しい２つの式において、乗号の前が１つ分なのである。つまり、この交換法則は解釈的である。
アレイ図は、どのようにグループ（まとまり）を見るか、ということついて、このように２つの解釈が可能である。算数は、この２つの解釈の共存にとどまり、同じ２（または６）が、１つ分にもいくつ分にもなる、という理由で、１つ分／いくつ分、被乗数／乗数の区別そのものを無意味として解消してしまうところまでは、つまり、〈因数×因数〉のかけ算にまでは、進まない。
注
注1
Adolph Diesterweg & Johann P. Heuser, Praktisches Rechenbuch für Elementar- und höhere Bürger-Schulen. 1. Übungsbuch, Elberfeld, Büchler, 12. Auflage, 1839; S. 26
（Twitter flute23432 2021/01/12 10:52AM, 11:24PMに基づく。）
